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《增壹阿含经》第四十三品：
尔时，阿阇世王即从座起，头面礼佛足，便退而去。王去不远，佛告诸比丘：“今此阿阇世王不取父王害者，今日应得初沙门果证，在四双八辈之中，亦复得贤圣八品道，除去八爱，超越八难，虽尔，今犹获大幸，得无根之信。是故，比丘！为罪之人，当求方便，成无根之信。我优婆塞中得无根信者，所谓阿阇世是也。”
什么是“无根信”？
阿建:
印顺法师文章：
例如从前阿阇世王杀父，但听闻佛法以后，得了“无根信”，也就是不坏信。虽然定力不足，还是入了地狱，但很快就脱离了，所以比喻为“拍球地狱”，如拍球落地，立刻就弹起来了。
阿阇世王没有能悟入正法，就是受到杀父重业的障碍。业障“障”的本义，如此。然有业障而能悔过，到底是好事，阿阇世王听佛说法，还是有所得的。大众部Mahāsāṃghika的《摩诃僧祇律》说：“世尊记王舍城韦提希子阿阇世王，于声闻优婆塞无根信中，最为第一”(10)。与大众部有关的‘增一阿含经’，说一切有部Sarvāstivādin的‘毘奈耶’，都说到阿阇世王闻法得无根信amūlakayā-śraddhā(11)。无根信，可能是有信心而还不怎么坚固的。犯极重恶业，听法、忏悔，还是有利益的。
开印法师 讲：
阿阇世王的“无根之信”
无根之信
《沙门果经》说，如果阿阇世王之前没有杀害父王，现在听了佛陀说法，就于座位上证得法眼。法眼（dhammacakkhu），觉音的注释说是“须陀洹道”（sotapattimagga）(23)，增壹阿含说“应得初沙门果证”(24)意义相当。须陀洹道之后，就是初果。
听完了佛陀的开示，阿阇世王获得了什么利益呢？从《摩诃僧祇律》说“阿阇世王有杀父罪故，心常惊怖”(25)的这一番话，可以得知他自从杀父以来，心常惊怖，无论是白天或晚上都不能睡觉。现在佛陀面前真诚发露、忏悔，对三宝产生了强大的信心与恭敬心(26)。北传长阿含说“已拔重咎”，增壹阿含说是得了“无根之信”，这与《寂志果经》的“已得生忍”、“已住于法而不动转”及《阿阇世王经》说：“闻已则欢喜信忍”相当。不过，《阿阇世王经》换成了文殊师利在说法(27)。
增壹阿含的“无根之信”，汉译《阿毗昙婆沙论》卷五十四（《大正藏》卷28，页387）有过注解，如说：
“佛经说：阿阇世王成就无根信。
问曰：一切有为法皆有根，何故说阿阇世王信无根耶？
答曰：此信，以无见道根故。如说不坏智相应信，以见道为根，彼无见道根，故言无根，而有与见道相似信为根。”
南传注释也说：他对佛陀、佛法及僧伽产生了信心，疏钞则又进一步分析这种信心属于是“智不相应”心(28)。无根之信，是没有了智相应（慧）为根的心。信，是十九种遍一切善心的心所，任何一种善心都一定有信，但未必有慧，具有慧根的是三因心。因此，少了慧根的二因心，不论这种心发生在异熟或速行里的作用都一样，即无法转起上二界（色、无色界）的禅那心、道心及果心。
见道相似信
最后，阿阇世王在闻佛说法之后，虽不在座上得法眼（须陀洹道智，或初果），但也成就了“无根之信”，这又何尝不是另类的现报呢。
Russ:
开印师有说过简短版的 不与智相应的信
DL:
《阿毘昙毘婆沙论》卷54〈智犍度 3〉：“佛经说阿阇世王。成就无根信。问曰。一切有为法皆有根。何故说阿阇世王信无根耶。答曰。此信以无见道根故。如说不坏智相应信。以见道为根。彼无见道根故言无根。而有与见道相似信为根。复次无无漏智善根故言无根。无漏信以无漏智无漏善根为根。彼不得无漏智。亦不得无漏善根。而得与无漏相似信。复次阿阇世王。不久供养佛。亦不亲近诸有德比丘。而得如是信。若于楼观象马之上。见佛世尊。即前向佛。以身投地。身无苦痛。是无根信力。亦是佛之威神。是故名无根信。复次此信无相似因。无有法与彼信作相似因者。如干树无根。彼信亦尔。故名无根。复次虽有此信。不免恶道。故名无根信”(CBETA, T28, no. 1546, p. 387, b6-19)
David Chiou:
“五根”包含信根、精进根、念根、定根、慧根，他们如同根生茎叶般能增上其他善法，因此称为“根”。五根中通常先起信根，相信佛陀、佛法，而会精进学佛，也就是精进根，像这样次第生起五根。
阿阇世王追随提婆达兜，犯杀父的五逆重罪，必堕无间地狱，在信佛前可说没有信、精进、念、定、慧等善根能救他出地狱，但在见佛后对佛陀起了信心，缺乏善根仍信佛，即是从无根的状态产生信根，而能增上其他善法，可称为“无根信”。
Cathy:
佛光大辞典 (慈怡法师主编)
无根信
初不知恭敬佛、法、僧三宝之无根（无善根）者，后因蒙佛力而生起信心，称为无根信。又造五逆极重罪，无善根可以解救，命终必趣无间地狱者，若殷重忏悔，更不重造，并净信三宝成就信根者，亦称为无根信。如阿阇世王。〔增一阿含经卷三、卷三十九〕 p5106
DL:
《大般涅槃经》卷20〈梵行品 8〉：“无根者，我初不知恭敬如来，不信法、僧，是名无根。”(CBETA, T12, no. 374, p. 484, c11-12)
《大般涅槃经疏》卷19〈梵行品 20〉：“无根信者。本时五根未立今遂得信故曰无根”(CBETA, T38, no. 1767, p. 151, c21-22)
阿建:
我的疑问，阿阇世王信佛前，完全没有五根吗？
还是说，五根是限定于 佛法内的
世俗的信进念定慧不算。不然我觉得一个人累世多少会有一些善业。
我猜想：累世多少有一点佛法的五根，例如见过久远前的佛之类的。不过只是猜想，经文不明确
没有佛法内的善根 或是 累世完全没有善根？
但如果限定在此世的五根，问题就会解决了
Cathy:
阿阇世王是造五逆极重罪，“无善根可以解”救，命终必趣无间地狱者，但因殷重忏悔，才成就无根信
David Chiou:
五根的确定义在三宝内的善根，信根专指对佛法僧戒的信心。根据《杂阿含经》卷二十六，五根的定义如下：