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标  题: Re: 月球是自然形成的吗？
发信站: 中山南十字BBS站 (Sat Apr 12 16:23:04 2003)
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以下是向各位网友解释我之前到底在说什麽.

假设在二维直角座标中有两个向量,V=(v1,v2), U=(u1,u2),
如果正好v1=u1, v2=u2, 那我们会写V=U
这V与U其实是同一个向量.

现在,我写下两个向量表示式 V=(1,2), U=(2,1)
乍看之下会觉得V与U是两个不同的向量,但如果我说,这V与U
的表示式,分别是在两个不同的座标系统中写出来的,那我怎麽
知道V与U到底是不是同样的一个向量? 他们看起来不一样,但
可能只是因为采用的坐标不一样而已.

要回答这问题,一定要讲清楚他们各自是在什麽样的坐标系统中.
不然这问题永远没有答案.

现在我说,V=(1,2)是在一般的直角坐标(x,y)中写下的,U=(2,1)
是在另一个直角坐标(x',y')中写下的,且(x',y')与(x,y)的关系
是x'=y, y'=x, 也就是把(x,y)中的x轴与y轴对调,就得到(x',y')

如果我指定这样的一个坐标,那我们很快就可以判断V=(1,2)与U=(2,1)
到底是不是同一个向量了. 答案是,是,它们是同一个向量.

在这个例子中,我给定一个(x,y)与(x',y')间的转换关系(x,y轴对调)
再写出在这两个不同坐标系统下的向量表示式,根据这些完整的资讯
我们可以判断V与U其实是同一个向量.

但,就算V与U是同一个向量,我们却永远不可能写V=U. 因为V=(1,2)
U=(2,1), (1,2)永远不可能等於(2,1), 虽然它们是同一个向量.

这是为什麽,向量在坐标转换之下其值会改变,就算我们心知肚明
他们其实是同一个向量,但在数学上,它就是不会是个不变量.

什麽是不变量(invariant)? 不变量是指,在坐标转换之下,连值都
不改变的. 在上面的例子中,向量在坐标转换下,其各分量的值变了,
从(1,2)变成(2,1). 但有个东西是不变的,那是向量的长度,在此例
中是根号5,不管是(1,2)还是(2,1),其长度都是根号5.

所以,向量的长度在座标转换之下是个不变量,其值不变,换句话说,
是个纯量.

我们都知道,一个向量再怎麽经坐标转换都仍是那个向量,这是大家心
知肚明的事. 但数学或物理学可不管你心里或肚子里明不明,数字写
下来才算数. 一个量,在座标转换之下其数值不变,那就是不变量.
数值变了,就不是不变量. 不变量的定义就这麽简单.


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